VOLYM OCH MANTELAREA


LÄNGD- OCH VOLYMENHET

Längd anges i enheten meter (m) och är det som vi mäter med måttband, "tumstock" eller graderad linjal. Andra enheter är exempelvis tiondels meter - decimeter (dm), hundradels meter - centimeter (cm), tusendels meter - millimeter (mm) och miljondels meter - mikrometer (µm).

Den grundläggande volymsenheten är en kubikmeter (m3), som är volymen av en kub med sidan en meter (d.v.s. alla sidorna har längden en meter). Volymen av en kub med sidan en decimeter (d.v.s. alla sidorna har längden en decimeter) är en kubikdecimeter (dm3). En kubikdecimeter kallas också (och kanske oftare) en liter (l). En kubikmeter är alltså tusen liter och en liter är tusen kubikcentimeter.

Enheter inom metersystemetEnheter inom litersystemet
1 km3 = 1 000 000 000 m3(1012 l)
1 m3 = 1 000 dm3(1 000 l)
 1 hl = 100 l
1 dm3 = 1 000 cm31 l = 10 dl
 1 dl = 10 cl
 1 cl = 10 ml
1 cm3 = 1 000 mm31 ml


JÄMNTJOCKA KROPPAR

Volymen av en "jämntjock" kropp d.v.s. en rak eller sned kropp, vars basyta längst ner och alla med basytan parallella tvärsnitt upp t.o.m. basytan längst upp, är kongruenta (har samma form och är lika stora), kan beräknas genom att multiplicera basytans area med den mot basytan vinkelräta höjden. Om basytans area anges i m2 och höjden i m så får man volymen i m3.

En kropp, vars volym kan beräknas på detta sätt - V = B · h, kan vara ett prisma - med specialfallen: rätblock och kub - eller en cylinder. Se nedanstående bilder:


MOT TOPPEN AVSMALNANDE KROPPAR

Vi tittar först på ett specialfall - en kub och en (sned) pyramid med samma basyta och höjd som kuben. Kuben kan nämligen delas upp i precis 3 likadana sådana sneda pyramider, vars volym vardera är en tredjedel av kubens volym:

Volymen av en "jämnt avsmalnande" kropp d.v.s. en rak eller sned kropp, med en basyta längst ner och en spets längst upp, kan beräknas genom att multiplicera basytans area med den mot basytan vinkelräta höjden och dividera med 3. Om basytans area anges i m2 och höjden i m så får man volymen i m3.

En kropp, vars volym kan beräknas på detta sätt - V = B · h/3, kan vara en pyramid eller en kon. Se nedanstående bilder:


KLOT (SFÄR)

En kon som ser ut som den längst till vänster i figuren ovan och som har en höjd, som är lika stor som radien i konens basyta ser ut att uppta ungefär hälften av det omskrivna halvklotets volym. (Se figuren nedan!) Det visar sig vara precis så. - Konens volym är B · h/3 = r2 · r/3 = r3 /3. Halvklotets volym är dubbelt så stor d.v.s. 2r3 /3 och hela klotets volym är därför 4r3 /3.

Observera att för klot används även ordet sfär. I stället för klotformig eller klotformad säger man oftast sfärisk och det stora klot av luft som omger jorden kallas atmo-sfär !


BEGRÄNSNINGSAREA OCH MANTELAREA

Det tycks råda en viss förvirring kring vad som är vad, men jag menar med begränsningsarea arean av all den yta som omger en geometrisk kropp och begränsar den mot rummet runt omkring. Med mantelarea menar jag endast arean av den välvda ytan (mantelytan) som är svept runt en cylinder eller en kon. En cylinders begränsningsyta utgörs alltså av en mantelyta och två basytor. En kons begänsningsyta utgörs av en mantelyta och en basyta.

Till vänster syns cylinderns mantelyta, som efter utbredning är en rektangel med höjden lika med cylinderns höjd (h) och bredden lika med cylinderbasytans omkrets (diametern ·  = 2r). Formeln för mantelarean blir alltså M=2rh.

Till höger syns konens mantelyta, som efter utbredning är en cirkelsektor som utgör en andel av en tänkt (röd) cirkel med konens generatris som radie. Andelen bestäms av förhållandet mellan konbasytans omkrets (2r) och den tänkta cirkeln omkrets (2s). Formeln för mantelarean blir alltså M=rs. (Generatrisen kan beräknas med hjälp av Pythagoras' sats.

Till sist konstaterar vi att klotets begränsningsarea är fyra gånger så stor som arean hos en cirkels med samma radie som klotet. Detta illustreras nedan: