FYRA TRIGONOMETRISKA
FUNKTIONER


För att kunna beräkna sidor i trianglar (avstånd - på jorden eller i världsrymden) har man sedan antiken beräknat och gjort upp tabeller för förhållandet mellan olika sidor i trianglar beroende på vinklarnas storlek. Idag använder vi våra miniräknare i stället för tabeller och på alla miniräknare utom de allra enklaste brukar det finnas knappar med beteckningarna sin, cos och tan på. Dessa beteckningar står för de trigonometriska funktionerna sinus, cosinus och tangens. På miniräknarna brukar det inte finnas någon knapp med cot på, eftersom den trigonometriska funktionen cotangens enkelt fås genom att ta det inverterade värdet av tangens. Dessa fyra trigometriska funktioner definieras för spetsiga vinklar med hjälp av förhållandet mellan sidor i en rätvinklig triangel enligt figuren nedan. Sidorna intill den räta vinkeln i en rätvinklig triangel kallas kateter och den längsta sidan kallas hypotenusa. Med motstående katet menas alltså här nedan den av kateteterna som vinkeln v vänder sin öppning mot och med närliggande katet menas den katet som utgör en del av vinkeln v:s ena ben.



Om man vill definiera de trigonometriska funktionerna för alla vinklar, brukar man göra det med hjälp av en cirkel som den i figuren nedan. Vinklarna anges från "cosinus-axeln" till en rörlig radie. Moturs riktning räknas som positiv vinkel (och medurs som negativ). I figuren är två exempelvinklar angivna - en spetsig v och en trubbig w. Här har radien betecknats med r, varför r också ingår i uttrycken som anger längden av de markerade sträckorna.

Om man låter radien vara 1 (vilket innebär att cirkeln blir en s.k. enhetscirkel) försvinner r ur dessa uttryck och den rörliga ändpunkten av sträckorna anger den trigonometriska funktionens värde på respektive "axel". Observera att eftersom i detta fall cos w, tan w och cot w är negativa tal, måste motsvarande sträckors längder anges med ett minustecken före, för att få ett positivt värde.

I figuren nedan markeras dessutom med gult i tur och ordning för sinus, cosinus, tangens och cotangens de rätvinkliga trianglar som visar att denna nya definition för en spetsig vinkel ger samma resultat som den ursprungliga.



De trigonometriska funktionerna är alltså funktioner av en vinkel v och kan därför illustreras i ett rätvinkligt koordinatsystem som andra funktioner. Nedan visas hur det kan göras med hjälp av en enhetscirkel för var och en av de fyra funktionerna till vänster i figuren och resultatet i fyra koordinatsystem till höger i figuren. För att funktionsaxlarna även för cosinus- och cotangensfunktionerna skall bli vertikala och riktade uppåt, har enhetscirklarna för dessa funktioner vridits ett kvarts varv moturs, så att noll grader blir rakt uppåt i dessa fall i stället för rakt åt höger. Vinkelaxlarnas skala i grader återfinns längst upp i figuren, medan skalan i radianer återfinns längst ner.

Man kan konstatera att då det gäller sinus- och cosinusfunktionerna upprepas förloppet efter 360o. Funktionerna sägs vara periodiska och har perioden 360o (2π, ett varv). Även tangens- och cotangensfunktionerna är periodiska, men i dessa fall är perioden endast 180o (π, ett halvt varv).

Med tiden har sinusfunktionen och de andra trigonometriska funktionerna visat sig få en vidsträckt tillämpning inom matematik, fysik, teknik, musik och andra vetenskaper (speciellt inom vilka fenomenen är eller kan tolkas som vågor eller svängningar).