GEOMETRISKA
TALFÖLJDER OCH SERIER

INLEDNING

Ovan syns tre exempel på geometriska talföljder. Vad kännetecknar alltså en sådan? Om man tittar på den översta ser man att den börjar med elementet 5 och de därefter följande elementen fås genom en fördubbling efter hand. Det betyder att om man tar det andra elementet och dividerar med det första, det tredje elementet och dividerar med det andra o. s. v. så får man hela tiden 10/5 = 20/10 = 40/20 = ... = 2. Den första talföljden kännetecknas alltså av att första elementet är 5 och kvoten är 2. Vad är första elementet respektive kvoten i de två senare talföljderna?

Om man sätter + mellan elementen i de geometriska talföljderna ovan får man i stället tre geometriska serier i vilka talföljdernas element blir termer. Om man sedan utför additionen får man en geometrisk summa. Nedan ses de delsummor man får vid addition av dessa tre talföljderna/serierna.

Lägg märke till att den andra serien ovan skiljer sig från de övriga genom att det verkar som om delsummorna efter hand blir allt mer lika och det verkar som om de möjligen går (=konvergerar) mot ett visst bestämt värde. Vi ska se längre ner att det verkligen är så.

Låt oss titta litet på hur en sådan summa kan beräknas på ett smart sätt. Som exempel tar vi summan av de fyra första elementen i den första talföljden. (Metoden verkar kanske inte speciellt smart då det gäller blott fyra element - då kunde man ju lika gärna lägga ihop dem direkt så som de står - men den blir smart om antalet element som ska adderas är många.) Denna summa betecknas med s4.

Om kvoten är 1 så är ju talföljdens element alla lika och sn = n · a1. Om kvoten är större än -1 och mindre än 1 så går (=konvergerar) den geometriska seriens termer mot noll (eftersom kn går mot noll då n går mot oändligheten), serien sägs vara konvergent och den oändliga geometriska seriens summa kan beräknas med följande formel:

Om man tittar tillbaka på de tre exempelserierna kan man konstatera att för den andra gäller villkoret att kvoten är större än -1 och mindre än 1. I själva verket är kvoten 0,5 (och första termen 100). Om man tittar på följden av delsummor kan man nog misstänka att delsummorna närmar sig (=konvergerar mot) ett visst bestämt tal (serien är konvergent) och använder man den sista formeln finner man att den oändliga geometriska seriens summa i detta fall blir:


EKONOMISKA TILLÄMPNINGAR

En tillämpning av geometriska talföljder och geometriska summor är beräkning av vilket belopp som finns på ett konto efter upprepade lika stora insättningar eller hur stora insättningar som måste göras för att få ett visst belopp på kontot. Det kan också handla om lån och annuiteter. Låt oss först titta på en sådan beräkning utan hjälp av formeln för geometrisk summa. Antag att vi sätter in 5000 kr vid början av varje år (d. v. s. vid varje årsskifte) och räntesatsen är 6 %. I varje kolumn i tabellen nedan visas hur mycket en insättning växer år för år. På varje rad syns till hur mycket de olika insättningarna vuxit vid det aktuella årsskiftet och sist på raden står hur mycket som finns totalt på kontot vid samma årsskifte. Sist på raden står alltså summan av de föregående beloppen på raden.

I varje cell i tabellen ovan har beloppen rundats till hela kronor. När det gäller totalsummorna i den sista kolumnen så är det t. o. m. så att de beräknats med de tidigare avrundade värdena som grund. Eftersom delbeloppen på varje rad bildar en geometrisk talföljd kan formeln för beräkning av en geometrisk summa användas. Om vi gör det för att beräkna hur mycket som ska finnas på kontot direkt efter den tionde insättningen får vi (med ett mer korrekt resultat än i tabellen ovan, eftersom inga avrundade delbelopp använts):

Låt oss ändra problemet ovan litet genom att i stället fråga oss: Hur mycket hade vi behövt sätta in varje gång för att efter den tionde insättningen ha 100 000 kr på kontot? Antag att vi hade behövt sätta in x kr. Då ger oss formeln ekvationen:

Beräkningen visar alltså att vi för att få 100 000 kr på kontot direkt efter den tionde insättningen, så måste vi sätta in 7587 kr varje år, om räntesatsen är 6 % hela tiden.

Låt oss titta på ytterligare ett exempel. Antag att vi tar ett lån på 500 000 kr som ska betalas igen med lika stora annuiteter vid slutet av varje kvartal med undantag av det första. Lånet ska betalas igen på 20 år och räntesatsen är hela tiden 7,8 %. Med hjälp av beräknigen 1,0781/4 finner man att detta motsvarar en kvartalsränta på ungefär 1,9 %. 20 år består av sammanlagt 80 kvartal, men eftersom ingen betalning behöver göras det första kvartalet blir det sammanlagt 79 lika stora betalningar om x kr. Dessa betalningar (annuiteter) består av både amortering och ränta. I tabellen nedan ser man att den första betalningen, som kommer att göras 2 kvartal efter det lånet tagits har ett nuvärde (= värde nu då lånet tas) som är ungefär x/1,0192 kr. Den andra betalningen, som kommer att göras 3 kvartal efter det lånet tagits har ett nuvärde som är ungefär x/1,0193 kr o. s. v. I sista kolumnen står i detta fall vad lånet skulle ha vuxit till med ränta på ränta, om det inte hade amorterats av alls.

Överst i tabellen står alltså alla 79 betalningarnas nuvärden på samma rad som hela lånebeloppet och summan av dem måste vara lika med lånebeloppet (500 000 kr) för att allt ska stämma. Även dessa nuvärden bildar en geometrisk talföljd, varför man återigen kan använda formeln för geometrisk summa. Som första term tar vi lämpligen den som står sist på raden eftersom den är minst och kvoten då blir enklast. Detta ger en ekvation som gör att x kan bestämmas.

Vi ser alltså att det belopp som måste betalas in vid slutet av varje kvartal fr. o. m. det andra kvartalet det första året och fram t. o. m. det fjärde kvartalet det tjugonde året är 12 490 kr för att både helt amortera av och betala ränta på lånet.