SANNOLIKHETS-
LÄRA

Sannolikhetsläran bygger delvis på statistiken och använder vissa begrepp gemensamt med denna. Skillnaden är att sannolikhetsläran sysslar med förutsägelser, medan statistiken sysslar med fakta dvs sådant som redan inträffat. Ett sätt att göra förutsägelser är ju att med statistikens hjälp konstatera hur det har varit och anta att det kommer att fortsätta på samma sätt eller enligt samma trend. Ett annat sätt är att göra förutsägelserna på grundval av andra fakta och med hjälp av logiskt resonemang.

Om man är absolut säker på att något ska inträffa sägs sannolikheten vara 1 eller 100 %. Om man är absolut säker på att något inte ska inträffa sägs sannolikheten vara 0 eller 0 %. Varje sak som kan inträffa vid ett visst försök eller under bestämda omständigheter kallas ett utfall. Alla utfallen tillsammans kallas utfallsrummet. En kombination av ett eller flera utfall kallas en händelse. De utfall som ingår i händelsen kallas de för händelsen gynnsamma utfallen. Om sannolikheten för vart och ett av samtliga utfall är lika stor, sägs likformig sannolikhetsfördelning råda. Om en viss händelse är definierad så bildar alla de utfall som inte ingår i händelsen en annan händelse som kallas den första händelsens komplementhändelse. Utfallsrummet har därmed blivit delat i två delar: händelsen och dess komplementhändelse.

BERÄKNING AV SANNOLIKHET

Sannolikheten för en händelse beräknas på följande sätt under förutsättning att likformig sannolikhetsfördelning råder:

Även om det inte råder likformig sannolikhetsfördelning, så gäller för en händelse, som består av flera utfall, att

Vid ett försök som består av två eller flera parallella försök eller på varandra följande försök, så gäller för en händelse, som består av en kombination av händelser - en ur varje delförsök - att

(Därvid måste hänsyn tas till om händelserna påverkar varandra.)

Till hjälp för förståelsen illustreras sådana här kombinationer av försök ofta med träddiagram eller axeldiagram i två (eller flera) dimensioner. Valet avgörs närmast av vad som är praktiskt möjligt att rita. Träddiagram blir svåra att rita om man har många utfall i varje steg och axeldiagram blir omöjliga att rita om man har fler än 2-3 steg. Om man ritar ett träddiagram, kan reglerna ovan formuleras så här:


Vidare gäller att


Exempel på försök i flera steg

Antag att vi singlar slant med två mynt eller singlar slant med samma mynt två gånger. Dessa två olika försök är likvärdiga, eftersom man kan anta att när man i det senare försöket singlar slant för andra gången, så påverkas inte resultatet av hur det gick första gången. Det handlar här om ett försök i två steg och med två utfall i varje steg. Eftersom både antalet steg och antalet utfall är få, är det likgiltigt, om man använder ett träddiagram eller ett axeldiagram. Här nedan visas båda.

Händelsen att få krona på båda mynten/vid båda kasten återges i träddiagrammet av grenen längst till vänster och i axeldiagrammet av punkten nertill till vänster och har alltså sannolikheten 0,25. - Händelsen att få olika sidor upp på de båda mynten/vid de två kasten återges i träddiagrammet av de båda grenarna i mitten och i axeldiagrammet av punkten upptill till vänster och punkten nertill till höger och har alltså sannolikheten 0,25 + 0,25 = 0,5.

Exempel på försök i flera steg där sannolikheten i följande steg beror av utfallet i föregående steg

För enkelhetens skull så säger vi att vädret en dag är antingen soligt eller mulet. Antag då att det på en ort är så att om det är soligt en dag så är sannolikheten för att det ska vara soligt även nästa dag 0,7 och om det är mulet en dag så är sannolikheten för att det ska vara mulet även nästa dag 0,6. Med utgångspunkt från hur vädret är idag vill vi då veta sannolikheten för hur det kommer att vara i övermorgon. Det handlar här om ett försök i två icke oberoende steg och med två utfall i varje steg. Eftersom både antalet steg och antalet utfall är få, är det likgiltigt, om man använder ett träddiagram eller ett axeldiagram. Axeldiagrammet måste dock modifieras en del för att kunna återge det faktum att andra steget beror av det första. Hela kvadratens area är 1 (motsvarande sannolikheten för hela utfallsrummet). Den delas först upp i två rektanglar (motsvarande sannolikheten för soligt respektive mulet i morgon). Dessa delas därefter åter upp i två rektanglar (motsvarande sannolikheten för soligt respektive mulet i övermorgon). Här nedan visas de båda diagrammen i det fall att vi utgår från att det är soligt idag.

Händelsen att det blir soligt i övermorgon återges i träddiagrammet av de två grenarna som har en sol längst ned och i axeldiagrammet av arean hos de båda rektanglarna längst ned och har alltså sannolikheten 0,7·0,7 + 0,3·0,4 = 0,49 + 0,12 = 0,61. - Händelsen att det blir mulet i övermorgon återges i träddiagrammet av de två grenarna som har ett moln längst ned och i axeldiagrammet av arean hos de båda rektanglarna längst upp och har alltså sannolikheten 0,7·0,3 + 0,3·0,6 = 0,21 + 0,18 = 0,39. - Undersök själv hur det blir om man i stället utgår från att det är mulet idag.

NORMALFÖRDELNINGEN

En speciell sannolikhetsfördelning som erfarenhetsmässigt har visat sig gälla i många sammanhang är normalfördelningen. Här möter vi åter begreppen medelvärde och standardavvikelse. Medelvärdet kallas i detta fall ofta väntevärde (= det värde man kan vänta sig att medelvärdet av gjorda stickprov närmar sig ju fler stickprov man tar). Normalfördelningen finns återgiven i de flesta formelsamlingar, både i form av tabell och diagram, i det fall då medelvärdet är 0 och standardavvikelsen är 1. I diagrammet nedan anges dock väntevärdet med µ och standardavvikelsen med . Om exempelvis väntevärdet är 15 och standardavvikelen 3 ersätts µ i mitten av graderingen nedan med 15 och skalans hela gradering blir i stället

 6              9              12              15              18              21             24

Anpassning av ett observationsvärde till den tabellerade fördelningen (med µstandard = 0 och standard = 1) kan göras med formeln: