RANDVINKEL-
SATSEN

INLEDNING

Jag låter direkt några figurer illustrera vad satsen handlar om. Två typer av vinklar ritas i en cirkel. Båda sägs stå på samma båge i cirkeln. Detta betyder att båda vinklarnas ben skär cirkelns rand (=periferi) i samma två punkter. Den ena vinkelns spets ligger i cirkelns medelpunkt. Den vinkeln kallas medelpunktsvinkel. Den andra vinkelns spets ligger på cirkelns rand. Den vinkeln kallas randvinkel (=periferivinkel, bågvinkel). Satsen säger:

  • För medelpunktsvinkeln och en randvinkel på samma båge i en cirkel gäller att medelpunktvinkeln är dubbelt så stor som randvinkeln.
I figuren nedan har randvinkeln markerats med rött, medelpunktsvinkeln med blått och bågen som vinklarna står på med grönt.

Vi ser att satsen gäller oberoende av var någonstans på randen som randvinkelns spets ligger så länge spetsen inte ligger på den båge (i figuren markerad med grönt) som medelpunktvinkeln står på. (I det fallet är det en sidovinkel till randvinkeln som är hälften så stor som medelpunktsvinkeln.)

I figuren ovan antyds också beviset av satsen för två lägen av randvinkeln. Det bygger på att basvinklarna i en likbent triangel är lika och på yttervinkelsatsen.

Om bågen som vinklarna står på blir en större eller mindre del av cirkelns rand blir också vinklarna större eller mindre, men hela tiden är det ändå så att medelpunktvinkeln är dubbelt så stor som motsvarande randvinkel.

Speciellt ser man att om medelpunktsvinkeln är rak (180°) så är randvinkeln rät (90°). D. v. s. en triangel inskriven i en halvcirkel på så sätt att den längsta sidan sammanfaller med diametern är en rätvinklig triangel.

FÖLJDSATSER

Här nedan listas tre satser som direkt följer av randvinkelsatsen. De två första har vi redan sett.

  • Två olika randvinklar som står på samma båge i en cirkel är lika stora.
  • En triangel inskriven i en halvcirkel på så sätt att den längsta sidan sammanfaller med diametern är en rätvinklig triangel.
  • Två motstående vinklar i en fyrhörning inskriven i en cirkel är tillsammans 180°.
I figuren nedan visas den sista följdsatsen och antyds dess bevis (de röda vinklarna är tillsammans 180° och de blå är tillsammans 360°):