PYTHAGORAS'
SATS


I figuren ovan syns en rätvinklig triangel med Pythagoras' sats formulerad med hjälp av en formel under triangeln. a , b och c är längderna av triangelns sidor. I en rätvinklig triangel kallas de två kortare sidorna kateter och den längsta sidan (c) hypotenusa. a2 kan tolkas som arean hos den kvadrat som kan ritas med a som sida, b2 kan tolkas som arean hos den kvadrat som kan ritas med b som sida och c2 kan tolkas som arean hos den kvadrat som kan ritas med c som sida. Formulerad med ord lyder då Pythagoras' sats:

  • I en rätvinklig triangel är kvadraten på hypotenusan lika med summan av kvadraterna på kateterna.

Pythagoras' sats kan nog sägas vara matematikens mest kända sats och har i tusentals år använts för att beräkna avstånd och konstruera räta vinklar. Den grekiske filosofen, mystikern och matematikern Pythagoras, efter vilken satsen är uppkallad, levde omkring år 500 f. Kr., men satsen var känd långt tidigare. Man tror att sambandet upptäcktes av både babylonierna och kineserna oberoende av varandra och kunskapen har därefter spritts från båda områdena västerut till Europa. Det finns hundratals kända bevis för satsen (81 bevis för Pythagoras' sats). Ett av dem gavs av den kände grekiske matematikern Euklides, som levde omkring år 300 f. Kr. Detta bevis visas i figuren nedan. I figuren har alla områden med samma färg samma area. Lila områden har hälften så stor area som röda och turkos områden hälften så stor area som blå. Tänk på att en triangels area är oförändrad även om dess form förändras bara den behåller samma bas och höjd.



(Efter det jag gjorde ovanstående animerade bevis enligt Euklides har jag hittat ett mycket snarlikt bevis ute på webben, som redan finns där sedan tidigare! Ett interaktivt bevis.)

För godtyckliga (ej rätvinkliga) trianglar gäller i stället cosinussatsen.