LOGARITMER

Logaritm betyder exponent. Det finns olika slags logaritmer beroende på vilken bas de tänks vara exponent till. Mest används tiologaritmer och naturliga logaritmer. Tiologaritmer bygger på basen 10 och de naturliga logaritmerna bygger på basen e, som är ungefär 2,7183. En tiologaritm kan definieras på följande sätt:

Tiologaritmen för x är det tal som 10 ska höjas till för att bli x.
(Den naturliga logaritmen definieras på motsvarande sätt.)

Det betydet t. ex. att tiologaritmen för 2 (skrivs lg 2 eller lg(2)) är ungefär 0,3010 eftersom 10 upphöjt till 0,3010 är ungefär 2. Pröva att ge fler exempel själv. (Den naturliga logaritmen för 2 skrivs ln 2 eller ln(2) och är ungefär 0,6931.)

Speciellt gäller förstås då att

Miniräknaren används för beräkningen av logaritmer. Knappen för tiologaritm är märkt [lg] eller [log] och knappen för naturlig logaritm är märkt [ln].

Logaritmer användes ofta förr för att underlätta multiplikationer och divisioner av stora tal. Antag att man för hand vill beräkna 23475634 · 674936. Detta är mycket arbetssamt. Då kom logaritmtabeller till användning. Eftersom tiologaritmen för tal som 2347, 234,7, 23,47 och 2,347 alltid har samma decimaler (pröva själv) var det möjligt att göra upp tabeller, utan att de behövde bli alltför omfångsrika. Eftersom talet 23475634 har 8 siffror, börjar dess tiologaritm med 7, och decimalerna hittade man sedan i tabellen - de är 37061733. Tiologaritmen för 23475634 är alltså 7,37061733. Eftersom talet 674936 har 6 siffror, börjar dess tiologaritm med 5, och decimalerna hittade man sedan i tabellen - de är 82926259. Tiologaritmen för 674936 är alltså 5,82926259. Därefter adderade man de två tiologaritmerna för hand (vilket ju är mycket lättare än att multiplicera för hand). Resultatet blir 13,19987992. Av detta förstår man att den önskade produkten måste vara ett 14-siffrigt tal, nämligen det man får om man tar 1013,19987992 = 1013 · 100,19987992. I en omvändningstabell hittade man att siffrorna i 100,19987992 är ungefär 1584455 (utan att decimaltecknet är utsatt). Den önskade produkten bör alltså vara ungefär 15844550000000. Visserligen fick man på detta sätt inget exakt svar, men de flesta miniräknare klarar ju inte heller att ge ett exakt svar i detta fall. En viss miniräknare ger svaret 15844550510000. Även räknestickan bygger på den här egenskapen hos logaritmer - att multiplikation motsvaras av addition av logaritmer och division av subtraktion av logaritmer.

Egenskaperna hos logaritmer kan sammanfattas i ett antal räkneregler, som illustreras av följande:

(Exemplen ovan är skrivna för tiologaritmer, men gäller i princip vilka logaritmer som helst. För att gälla de naturliga logaritmerna kan lg överallt bytas mot ln och allt blir fortfarande rätt.)

Logaritmer har fortfarande många användningsområden. De används exempelvis vid beräkning av pH-värden (surhetsgrad) och decibel-tal (ljudnivå). Logaritmiska skalor är också användbara. Grafen till en exponentialfunktion blir en rät linje om den ritas i ett koordinatsystem med logaritmisk skala på y-axeln. Ekvationer med x i exponenten löses också med hjälp av logaritmer.