EKVATIONSSYSTEM

Ett ekvationssystem består av två eller flera ekvationer. En lösning till ekvationssystemet innebär att man fått fram värden på de obekanta, som samtidigt satisfierar (gör att vänsterledet och högerledet får samma värde) båda (alla) ekvationerna i systemet. Exempelvis är x = 5 och y = 2 lösning (och den enda lösningen) till ekvationssystemet

De linjära ekvationenerna (förstagradsekvatierna) i ekvationssystemet ovan, kan tolkas som två räta linjer i ett tvådimensionellt koordinatsystem. För att underlätta tolkningen löser vi först ut y ur båda ekvationerna och finner då att den första linjen skär y-axeln i 5 1/3 och har riktningskoefficienten - 2/3 dvs. den sjunker två steg för vart tredje steg åt höger. På motsvarande sätt ser vi att den andra linjen skär y-axeln i - 4 2/3 och har riktningskoefficienten 4/3 dvs. den stiger fyra steg för vart tredje steg åt höger. Man ser att linjernas skärningspunkt är punkten (5, 2) och detta är alltså den enda punkt, som ligger på båda linjerna samtidigt och värdeparet x = 5 och y = 2 är det enda som satisfierar båda ekvationerna.

När man på detta sätt ritar för att få fram lösningen, säger man att man löser ekvationssystemet grafiskt. Man har gjort en grafisk lösning. En förutsättning för att man ska få en enda lösning är att linjerna inte är parallella eller sammanfallande. Om det, vid omskrivningen av ekvationerna på det sätt som gjordes ovan, hade visat sig att riktningskoefficienten hade varit densamma för båda linjerna, så hade linjerna varit parallella. Det hade då inte funnits någon lösning till ekvationssystemet, såvida inte linjerna dessutom skurit y-axeln i samma punkt. I så fall hade linjerna varit sammanfallande och det hade funnits oändligt många lösningar (en för varje punkt på linjen).

Om man i stället har förstagradsekvationer med tre obekanta, kan en sådan ekvation tolkas som ett plan i det tredimensionella rummet. Två sådana plan skär varandra utefter en linje, under förutsättning att planen inte är parallella eller sammanfallande. Varje punkt på en sådan linje svarar då mot en lösning till ett sådant ekvationssystem med tre obekanta och två ekvationer. Nedan har planen (för tydlighetens skull) ritats i olika färger och begränsade, men de kan naturligtvis lika gärna vara obegränsade i sin utbredning.

För att ett system med förstagradsekvationer med tre obekanta ska ha en och endast en lösning krävs tydligen tre ekvationer som svarar mot tre icke parallella och icke sammanfallande plan. Dessa får endast en gemensam punkt.

Trots att vi har svårt att föreställa oss fler än tre dimentioner, finns inga sådana begränsningar i matematiken. Vi kan alltså fortsätta på samma sätt och med hjälp av ekvationssystem med fyra ekvationer få fram värden på fyra obekanta, med fem ekvationer få fram värden på fem obekanta osv.

Låt oss återvända till vårt ursprungliga ekvationssystem och lösa det utan att behöva rita. Man kan börja med att lösa ut en variabel (i detta fall x) ur den första ekvationen och få ett uttryck att ersätta denna variabel (x) med i den andra ekvationen. Därmed innehåller den andra ekvationen bara en obekant (y) som därefter kan lösas ut. Gå tillbaka till den första ekvationen och sätt in detta värde. Därmed kan den återstående obekanta (x) beräknas. Denna metod bygger alltså på att man arbetar växelvis med ekvationerna och ersätter (substituerar, byter ut) obekanta (x eller y) med uttryck eller värden från den andra ekvationen. Därför kallas denna metod ersättningsmetoden eller substitutionsmetoden.

Ett annat sätt att lösa ett ekvationsystem är med additionsmetoden, som innebär att de två ekvationerna adderas ledvis. Avsikten är att man då ska få en ekvation, där endast en obekant är kvar så att den kan lösas ut. För att det ska bli så, måste de urspungliga ekvationerna oftast multipliceras med lämpliga tal först.

Låt oss åter starta med samma ekvationssystem som förut. I detta fall är det så tursamt att ekvationerna inte behöver multipliceras för att y-termerna ska gå bort. Under rubriken m anges sedan de tal med vilka ekvationerna ska multipliceras för att x-termerna ska gå bort vid en addition av ekvationerna ledvis.

I allmänhet finns ingen anledning att använda en mer arbetsam metod än nödvändigt. Ofta är det bekvämast att börja med additionsmetoden (för att få fram den första obekanta) och därefter övergå till substitutionsmetoden (för den andra obekanta).

Så ett ekvationssystem med fler än två obekanta. Ekvationerna behandlas två och två.

Ekvationerna behöver inte heller vara linjära. Och om en rät linje skär en parabel, så gör den det oftast i två punkter - men inte alltid. Här gäller det att bestämma en linjes ekvation så att linjen går genom punkten (4, -2) och är tangent till parabeln y = x2 - 6x + 7. I koordinatsystemet nedan syns förutom parabeln två godtyckliga linjer genom punkten (4, -2):

En rät linje genom punkten (4, -2) har (utom den vertikala linjen x = 4) ekvationen

där k är linjens riktningskoefficient och är olika beroende på linjens lutning.

Lösningen till ekvationssystemet

ger koordinaterna för linjens skärningspunkt(-er) med parabeln. Om linjen har en sådan lutning att den inte skär parabeln, finns ingen lösning, annars skär linjen parabeln i två punkter utom då punkterna sammanfaller i en (tangerings-)punkt. Om vi vill att linjen ska vara en tangent, ska det alltså finnas endast en lösning till ekvationssystemet.

Substitutionsmetoden ger

Om det som står under rotmärket ovan är positivt finns två lösningar, om negativt finns ingen lösning (linjen skär inte parabeln) och om det är noll får man precis en lösning (linjen tangerar parabeln). Vi vill alltså att det som står under rotmärket ska vara noll och söker ett värde på k som ger detta resultat.

Eftersom tangentens ekvation kunde skrivas y = kx - 4k - 2 så ger insättning av k1 = 0 ekvationen y = -2 dvs. en horisontell tangent genom parabelns vertex (minimipunkt) och k2 = 4 ekvationen y = 4x - 18 dvs. en tangent till parabeln i punkten (5, 2).