DERIVATA

Derivatan är ett mått på lutningen hos en funktions graf (kurva) på samma sätt som riktningskoefficienten är ett mått på lutningen hos en rät linje. Faktiskt skulle man kunna säga att då det gäller en rät linje (=en förstagradsfunktion, linjär funktion) är derivatan lika med riktningskoefficienten. För en linjär funktion är det alltså så att derivatan är konstant, dvs den har inte olika värden för olika värden på x (den oberoende variabeln). Om funktionens graf däremot är en kurva, så varierar ju lutningen (dvs derivatan) för olika värden på x, dvs derivatan är själv en funktion. Därmed är det möjligt att finna derivatan av derivatan - denna kallas då andra ordningens derivata eller enklare andraderivatan.

Lutningen är alltså olika i olika punkter på en kurva och i varje punkt är det rimligt att säga att den är lika med riktningskoefficienten hos tangenten till kurvan i denna punkt. På så sätt kan lutningen hos en kurva direkt jämföras med lutningen hos en linje.

Riktningskoefficienten för en rät linje beräknas ju med hjälp av formeln:

I formeln ovan är x1 och y1 koordinater för en punkt och x2 och y2 koordinater för en annan punkt (bråken i formeln ovan kallas ändringskvot). För att använda formeln behövs alltså två punkter. Detta är inget problem då det gäller en linje - man får ju samma resultat oberoende av vilka två punkter på linjen man väljer och man kan finna hur många punkter som helst som kan användas för beräkningen.

Men när det gäller att finna derivatan i en punkt på en kurva har man ju egentligen bara koordinaterna för denna enda punkt (x0 , y0) som också är tangentens tangeringspunkt med kurvan. För att få två punkter att räkna med kan man då tänka sig att ta två punkter på kurvan som ligger ungefär lika långt bort på ömse sidor om tangeringspunkten, (x1 , y1) och (x2 , y2). Om man drar en linje genom dessa punkter verkar ju den vara ungefär parallell med tangenten och alltså ha ungefär samma riktningskoefficient. Faktum är att om kurvan är en andragradsfunktion och man väljer punkterna så att x-koordinaterna ligger exakt lika långt bort åt vardera hållet (dvs x0 - x1 = x2 - x0), så får man en linje som är exakt parallell med tangenten och man får alltså på detta sätt exakt rätt värde på derivatan. Se nedanstående figur:

För ovanstående andragradsfunktion gäller enligt figuren ovan att om derivatan i punkten (x0 , y0) betecknas y'(x0) så är:

(I detta exempel är f(x) = x2 - 4x + 3 och x0 = 3, y0 = 0, x1 = 1, y1 = 0, x2 = 5, y2 = 8 och h = 2. Därför blir i just detta fall y'(3) = (8 - 0)/(5 - 1) = 8/4 = 2.)

För kontinuerliga (= sammanhängande) funktioner utan "brytpunkter" som inte är andragradsfunktioner gäller inte att denna ändringskvot ger exakt rätt värde på derivatan, men värdet blir bättre ju närmre punkten (x0 , y0) man väljer punkterna (x1 , y1) och (x2 , y2), dvs ju mindre h man väljer. Man säger att derivatan i punkten är gränsvärdet (= limes) för ändringskvoten, när h går mot noll. Eller med en matematisk formel:

Nedan illustreras detta med hjälp av exponentialfunktionen y = 2x. Målet är att få fram y'(1):

I sista bilden i den rörliga sekvensen ovan anges derivatan i punkten (12) som y'(1) = 2·ln2. Här har jag använt en regel för att beräkna derivatan. Sådana regler finns för olika typer av funktioner. Här följer några sådana regler (som ges utan bevis eller härledning) med exempel på vad de ger för resultat (för de trigonometriska funktionerna måste vinkeln anges i radianer, för att formlerna skall gälla):

Om man exempelvis vill undersöka den punkt på kurvan y = x3 - 2x + 3 som har x-koordinaten -2, så finner man till att börja med att y-koordinaten för punkten är y(-2) = (-2)3 - 2·(-2) + 3 = -8 + 4 + 3 = -1. Derivatan till funktionen blir enligt rätt regel ovan y' = 3x2 - 2 och därför blir derivatan i punkten (-2-1) y'(-2) = 3·(-2)2 - 2 = 3·4 - 2 = 12 - 2 = 10.

Figuren nedan avser att illustrera sambandet mellan en funktions derivata av första och andra ordningen och samma funktions graf (kurva). En cykel, sedd uppifrån, kör längs kurvan. Cykelns (dvs det blå bakhjulets) körriktning (i förhållande till x-axelns riktning) är förstaderivatan och (det röda) framhjulets riktning (i förhållande till cykelns ram, dvs körriktningen) är andraderivatan. Att cykeln rör sig i riktning mot bildens överkant betyder alltså att förstaderivatan är positiv och om cykeln rör sig mot bildens nederkant är förstaderivatan negativ. Om framhjulet är vridet åt vänster är andraderivatan positiv (och kurvan är glad = konkav uppåt) och om framhjulet är vridet åt höger är andraderivatan negativ (och kurvan är ledsen = konkav nedåt). Lägg märke till att i maximi-, minimi- och terrasspunkter är förstaderivatan noll och i inflexionspunkter (där kurvan byter från konkav uppåt till konkav nedåt eller tvärt om) är andraderivatan noll.

Kunskapen ovan utnyttjar man för att ta reda på när, dvs i vilka punkter, man kan finna ett största eller minsta värde, ett lokalt maximum eller minimum eller när ett trendbrott sker eller när en viss tillväxttakt uppnås. Man gör det genom att bilda (och lösa) ekvationer med första eller andra dervatan i ena ledet och noll eller eventuellt annat värde i andra ledet.

Följande bild visar derivatorna av första och andra ordningen som funktioner som växer fram i takt med den ursprungliga funktionen. Som exempel visas här en fjärdegradsfunktion y = x4/12 - x2 + 1. Förstaderivatan blir då en tredjegradsfunktion y' = x3/3 - 2x och andraderivatan blir en andragradsfunktion y" = x2 - 2. Lägg märke till hur denna sänkning i gradtal framstår som naturlig också när man betraktar graferna. I slutbilderna markeras med blå punkter var förstaderivatan är noll och med röda punkter var andraderivatan är noll.


Studera gärna även följande utmärkta sida om derivata från Ove Lundgren.