DECIMALTAL OCH ALGORITMER


DECIMALTAL

Rationella tal kan skrivas med hjälp av bråk (t.ex. 1/2, 1/3, -3/4, 7/5 o.s.v.) eller blandade tal (t.ex. ) och i vissa fall som hela tal. Decimaltal är heltal eller tal med decimaler (siffror efter ett kommatecken - ofta kallat decimalkomma eller decimaltecken) där första decimalen anger antalet tiondelar, andra decimalen antalet hundradelar, tredje decimalen antalet tusendelar o.s.v. (t.ex. är 1/2 = 5/10 = 0,5; 3/4 = 75/100 = (7/10) + (5/100) = 0,75; 7/5 = 14/10 = 1 + (4/10) = 1,4 o.s.v.)

Decimaltal används för att på ett enkelt sätt skriva rationella tal och för att kunna använda de vanliga algoritmerna vid beräkningar. Även vid mätningar och räkning med olika räknehjälpmedel underlättare det om man använder decimaltal, även om vissa miniräknare klarar av att räkna också med bråk. Alla rationella tal kan skrivas som decimaltal antingen med ett ändligt antal decimaler (Ex.: 1/4 = 0,25) eller med ett oändligt antal decimaler, men med en period d.v.s. samma följd av siffror återkommer om och om igen (Ex.: 1/7 = 0,142857142857142857 ...). Ett decimaltal med oändligt många decimaler utan period d.v.s. utan att samma sifferföljd återkommer om och om igen svarar mot ett irrationellt tal d.v.s. ett tal som inte kan skrivas som ett bråk (exakt). Ett exempel på ett sådant tal är talet (= 3,1415926536 ...) d.v.s. kvoten av en cirkels omkrets och samma cirkels diameter. De rationella talen och de irrationella talen (d.v.s. alla tal som finns på tallinjen) kallas tillsammans de reella talen.

För att omvandla ett decimaltal med oändligt antal decimaler och med period till ett bråk, kan man använda en metod som framgår av nedanstående exempel:


ADDITIONSALGORITMEN

Vårt sätt att skriva tal med hjälp av endast tio siffror, där siffrans värde också påverkas av på vilken position i talet den står, underlättar för oss, när vi vill göra beräkningar. Om vi t.ex. vill beräkna 123 + 456 så blir det lättare om vi delar upp beräkningen så här (100 + 20 + 3) + (400 + 50 + 6) = (100 + 400) + (20 + 50) + (3 + 6) = 500 + 70 + 9 = 579 d.v.s. vi räknar entalen (3 + 6) för sig och tiotalen (20 + 50) för sig o.s.v. Vid räkning med papper och penna brukar vi därför använda en algoritm där man ställer upp talen under varandra, så att ental hamnar under ental och tiotal under tiotal o.s.v. så här:

Man brukar, som i exemplet ovan, börja med att beräkna summan av entalen (längst till höger) och därefter kolumnerna i ordning åt vänster. I detta fall hade det gått bra med an annnan ordning, men om summorna blir större (tvåsiffriga eller mer) blir det svårhanterligt, om man inte börjar från höger. Här följer ett exempel (898,3 + 850,25 + 797,4) där detta inträffar:


SUBTRAKTIONSALGORITMEN

Subtraktionsalgoritmen bygger på samma tanke som additionsalgoritmen. Som exempel tar vi 31547 - 4085 = (30000 + 1000 + 500 + 40 + 7) - (4000 + 80 + 5) = 30000 + 1000 + 500 + 40 + 7 - 4000 - 80 - 5. Vi räknar entalen för sig, tiotalen för sig o.s.v. 30000 + 1000 - 4000 + 500 + 40 - 80 + 7 - 5 = (30000) + (1000 - 4000) + (500) + (40 - 80) + (7 - 5) Vi ser i detta fall att tiotalen (40 - 80) ger ett negativt resultat och för att undvika detta "lånar" vi 100 (syns nedan som 10 ovanför tiotalskolumnen) från hundratalen. Samma sak gäller tusentalen, så vi lånar också 10000 (syns som 10 ovanför tusentalskolumnen) från tiotusentalen. Så här: (30000 - 10000) + (10000 + 1000 - 4000) + (500 - 100) + (100 + 40 - 80) + (7 - 5) = (30000 - 10000) + (11000 - 4000) + (500 - 100) + (140 - 80) + (7 - 5) = 20000 + 7000 + 400 + 60 + 2 = 27462

När man exempelvis beräknar tiotalskolumnen (andra kolumnen från höger), underlättas beräkningen om man i stället för att utföra beräkningen i den ordning den står (10 + 4 - 8) börjar med 10 - 8 = 2 och därefter tar 2 + 4 = 6 eftersom man oftast kan sina tiokamrater direkt. (D.v.s. att 10 - 1 = 9, 10 - 2 = 8, 10 - 3 = 7, 10 - 4 = 6, 10 - 5 = 5 o.s.v.)

Överstruket tal markerar att talet förlorat ett steg i värde p.g.a. "lån". Den överstukna femman ovan ska alltså läsas som 4 och den överstrukna trean som 2. Om det står en nolla där man skulle behöva "låna", får man gå vidare till nästa kolumn och låna där. Se nedan:


MULTIPLIKATIONSALGORITMEN

Även i detta fall delar vi upp talen i ental, tiotal o.s.v. och tar som exempel 15 · 23 = (5 + 10) · (3 + 20) = 5 · 3 + 5 · 20 + 10 · 3 + 10 · 20 = 15 + 100 + 30 + 200 = 345. Att det går att göra som ovan (d.v.s. att den distributiva lagen gäller för multiplikation) framgår av figuren nedan som visar 345 föremål ordnade i 15 rader med 23 föremål i varje rad:

Figuren är indelad så att det i övre vänstra hörnet finns ett område med 5 · 3 = 15 föremål, i övre högra hörnet ett med 5 · 20 = 100, i nedre vänsta hörnet ett med 10 · 3 = 30 och i nedre högra hörnet ett med 10 · 20 = 200, sammanlagt alltså 345 föremål.

Detta ordnas nu i en multiplikationsalgoritm som först visas i en något utbyggd version och till sist så som den brukar skrivas:

Vid multiplikation sätter man till skillnad från vid addition och subtraktion ofta inte vid början ental under varandra o.s.v. utan man låter högermarginalen vara rak. Har man decimaler sätter man då inte heller decmaltecknen rakt under varandra utan man börjar med att räkna som om det inte fanns några decimaltecken (=decimalkomman). I stället kontrollerar man när man räknat klart hur många decimaler de ingående faktorerna har sammanlagt (i exemplet nedan 1 + 2 = 3 decimaler) och räknar av lika många decimaler i slutprodukten. (Eftersom de ingående faktorerna i exemplet är ungefär 100 och 1 måste också svaret vara ungefär 100 eller i själva verket litet mindre - en rimlighetskontroll, som man bör göra.)


DIVISIONSALGORITMEN

Låt oss som ett exempel dividera 978653 med 125. Ett sätt är då att försöka se efter hur många gånger man kan dra 125 från 978653 tills det som återstår (resten) är noll eller i varje fall mindre än 125. Det finns många sätt att ställa upp detta (trappan, liggande stolen o.s.v.), men det går bra med endast ett snett bråkstreck och ett likhetstecken:

För att göra detta så effektivt som möjligt, börjar vi med att försöka subtrahera så många 125 som möjligt på en gång. Eftersom varken 9 eller 97 är större än 125 ser vi efter hur många gånger 125 går i 978. Man ser att det går 7 gånger (eftersom 8 gånger 125 blir mer än 978) och skriver så här:

På grund av siffrornas position i 978653 ser man nu att 125 inte går bara 7 gånger i 978653 utan i själva verket 7000 gånger och vi har fortfarande mer än 125 kvar (närmare bestämt 103653) och vi fortsätter med att se hur många gånger 125 går i 1036:

Vi kan konstatera 125 går 8 gånger i 1036 och därmed 800 gånger i 103653 och 800 gånger ytterligare (förutom de 7000 gångerna) i 978653.

Och sedan går det ytterligare 20 gånger:

Och ytterligare 9 gånger och man får resten 28.

Här kan man svara med det blandade talet

Men man kan också räkna vidare och få ett svar med decimaler - först en decimal som betyder 2 tiondelar av 125:

Så en decimal som betyder 2 hundradelar av 125:

Och till sist en decimal som betyder 4 tusendelar av 125 och svaret blir 7829,224.