COSINUSSATSEN


I en rätvinklig triangel gäller Pythagoras' sats. Cosinussaten gäller för alla tringlar och lyder så här:

a2 + b2 - 2ab cos C = c2

Här är a , b och c längderna av triangelns sidor. C är den mellan sidorna a och b liggande vinkeln. Om denna vinkel är rät övergår cosinussatsen i Pythagoras' sats eftersom cosinus för 90o är noll och hela termen - 2ab cos C försvinner.

I beviset nedan tolkas a2 som arean hos den kvadrat som kan ritas med a som sida, b2 som arean hos den kvadrat som kan ritas med b som sida, c2 som arean hos den kvadrat som kan ritas med c som sida och (±) ab cos C som arean av olika rektanglar med antingen a som ena sida och (±)b cos C som andra sida eller b som ena sida och (±)a cos C som andra sida. I figuren har alla områden med samma färg samma area. Lila och turkos områden är också sinsemellan lika stora.

Först visas det fall då vinkeln C är spetsig.



Arean hos kvadraten nederst i figuren är alltså såväl (a2 - ab cos C) + (b2 - ab cos C) = a2 + b2 - 2ab cos C  som c2. Därmed är satsen bevisad.

Och här följer beviset i det fall då vinkeln C är trubbig: