AREA


LÄNGD- OCH AREAENHET

Längd anges i enheten meter (m) och är det som vi mäter med måttband, "tumstock" eller graderad linjal. Andra enheter är exempelvis tiondels meter - decimeter (dm), hundradels meter - centimeter (cm), tusendels meter - millimeter (mm) och miljondels meter - mikrometer (µm). Tusen meter är en kilometer (km) och tio kilometer är en mil. En svensk mil ska inte förväxlas med en engelsk mil, som inte är längre än ungefär 1,6 km.

Den grundläggande areaenheten är en kvadratmeter (m2), som är arean av en kvadrat med sidan en meter (d.v.s. alla sidorna har längden en meter). Storleken av en ytas area är det som avgör hur mycket färg som går åt för att måla den (med en bestämd färgtjocklek).


AREA AV FYRHÖRNINGAR

Den översta fyrhörningen i figuren nedan föreställer en sådan kvadrat med sidan en meter och arean en kvadratmeter. (Kvadraten är uppenbarligen inte ritad i naturlig storlek.) Varje sådan ruta i de följande rektanglarna har också en area av en kvadratmeter.

Ovan ses ett antal rektanglar med arean angiven till höger om var och en. Inom parentes ses hur arean beräknas i varje enskilt fall - om figuren betraktas som liggande: längden gånger bredden eller om figuren betraktas som stående: basen gånger höjden. (Observera att här används "x" - och inte "·" - som multiplikationstecken för att ange att det handlar om dimensioner.) Kontrollera genom att räkna rutorna i varje rektangel!

En kvadratdecimeter är arean hos en kvadrat med sidan en decimeter, en kvadratcentimeter är arean hos en kvadrat med sidan en centimeter o.s.v. Detta innebär att trots att deci betyder tiondels så är en kvadratmeter hundra kvadratdecimeter och trots att centi betyder hundradels så är en kvadratmeter tiotusen kvadratcentimeter. Fundera själv ut hur det blir med övriga enheter såsom exempelvis kvadratkilometer.

För att arean ska kunna beräknas som basen gånger höjden krävs inte att figuren är rak (med räta vinklar i hörnen), men höjden måste mätas vinkelrätt mot basen och figuren måste vara lika bred "hela vägen upp". Se figurerna nedan!

Den översta figuren ovan visar att den sneda sidan måste göras längre ju snedare den blir för att höjden ska behållas oförändrad. (Om den sneda sidan vore lika lång även vid allt snedare figurer skulle höjden bli allt lägre och därmed skulle även arean gå mot noll.)

Av mittenfiguren ser man att arean av en sned figur (en parallellogram) är lika stor som arean av en rektangel med samma bas och höjd.

Den nedersta figuren visar att de sidorna i figuren som man inte mäter inte ens behöver vara räta linjer om de bara har precis samma form. (Följer av villkoret att figuren ska vara lika bred "hela vägen upp".)


AREA AV TRIANGLAR

En triangel är en trehörning och kan ses som ena halvan av en fyrhörning såsom en parallellogram eller en rektangel, som delats längs en diagonal. Se figurerna nedan!

Att kunna beräkna arean av en triangel innebär att man kan beräkna arean av en godtycklig månghörning, eftersom en sådan kan ses som sammansatt av flera trianglar.


AREA AV CIRKLAR OCH ELLIPSER - TALET

Det är naturligt att för en cirkel mäta dess diameter (längsta avståndet tvärs över) eller radien (avståndet från cirkelns mittpunkt till dess rand d.v.s. kant). Radien är (alltid) hälften så lång som diametern. Ju större radie desto större cirkel. Om man skriver in en cirkel i en kvadrat (ritar så stor cirkel som möjligt i kvadraten) så är kvadratens sida lika stor som cirkeln diameter eller två gånger cirkelns radie. Om man betecknar radien med r så är alltså kvadratens sida 2r och dess area 2r · 2r = (2r)2 = 4r2.

Genom att jämföra cirkelns area med en omskriven fyrhörnings area och en inskriven fyrhörnings area fann vi ovan att cirkelns area är ungefär 3 · r2. Genom att jämföra med månghörningar med allt fler hörn kan man beräkna cirkelns area allt noggrannare och därmed värdet på med godtycklig noggrannhet. Det visar sig att är ett irrationellt tal som inte kan skrivas exakt med ett ändligt antal decimaler eller som ett bråk.  = 3,1415926536 ... utan att samma sifferföljd någonsin upprepas exakt om och om igen bland de oändligt många decimalerna. De flesta miniräknare har en särskild knapp för talet .

Om man tänker sig att man sätter upp ett staket längs randen (=ytterkanten) av en geometrisk figur (=område) så kallas längden av detta staket för figurens omkrets.

När det gäller en cirkel så kommer i detta sammanhang talet återigen till användning: Cirkelns omkrets är · diametern. Se nedanstående figur!

En ellips är en typ av oval figur, som ser ut som en cirkel sedd snett från sidan, uppifrån eller nerifrån. Sågar man av ett cirkulärt rör snett, så blir också detta snitt en ellips. De flesta himlakroppar rör sig också utefter elliptiska banor. Genom att lägga en sluten slinga snöre runt två fastslagna stift och en penna, spänna ut snörslingan och rita runt kommer pennan att rita en ellips. Se bilden nedan!



De två punkter där stiften är nedslagna kallas ellipsens brännpunkter. Ju närmre de två brännpunkterna är varandra, desto mer närmar sig ellipsen att vara en cirkel. Vår jord följer en elliptisk bana som är ganska nära en cirkel och solen befinner sig i en av brännpunkterna.

Arean av en ellips beräknas på ungefär samma sätt som man beräknar arean av en cirkel, men i stället för radien använder man halva storaxeln (a i figuren nedan) och halva lillaxeln (b i figuren nedan):