ANDRAGRADS-
FUNKTIONER

En funktion är ett samband mellan värden som uppfyller vissa villkor. Värdena behöver inte nödvändigtvis vara tal, men när det gäller andragradsfunktioner så måste det ju vara så. Andragradsfunktioner är dessutom kontinuerliga (ung. sammanhängande) funktioner varför man i detta fall kan definiera en funktion på följande sätt:

En funktion är en regel som till varje givet tal alstrar ett och endast ett annat tal.

Det senare talet kallas funktionens värde för det givna talet. Det intervall inom vilket de givna talen kan väljas kallas funktionens definitionsmängd. Det intervall som funktionens värden inte kan hamna utanför kallas funktionens värdemängd.

En andragradsfunktion kan allmänt skrivas:

a, b och c är konstanta tal medan x och y är variabler. Olika värden på de konstanta talen betyder olika funktioner. För att det ska vara en andragradsfunktion får konstanten a inte vara noll. x kallas oberoende variabel eftersom den representerar de olika givna tal som ingår i definitionsmängden (oberoende eftersom dessa tal ju kan väljas fritt i definitionsmängden). y kallas beroende variabel eftersom den representerar funktionens värden ingående i värdemängden (beroende eftersom dessa tal alstras av funktionen och alltså beror av vilken funktionen är).

Den enklast tänkbara andragradsfunktionen är den där a = 1, b = 0 och c = 0. Nedan visas hur denna funktion alstrar nya tal från givna tal, hur de kan redovisas i en värdetabell och hur funktionen sedan kan illustraras av en graf. Till sist visas också hur funktionsuttrycket skrivs.

Om konstanten a är positiv (= plus framför x2-termen) så liknar grafens form ett U (en glad kurva) och funktionen har ett minimum och om konstanten a är negativ (= minus framför x2-termen) så liknar grafen ett uppochner-vänt U (en ledsen kurva) och funktionen har ett maximum. Om a är större än 1 eller mindre än -1, är grafen brantare än den ovan och om a ligger mellan -1 och 1 är grafen flackare än den ovan.

Konstanten b anger riktningskoefficienten (= lutningen) hos den tangent som går genom grafens skärningspunkt med y-axeln och konstanten c är y-koordinaten för samma skärningspunkt (se exempel i figuren nedan).

En funktions nollställen är de punkter (x-värden) för vilka funktionens värde (= y-värde) är noll. Nollställena kan man se i figuren och värdetabellen, men också genom att lösa den andragradsekvation som uppstår om man sätter y i funktionsuttrycket lika med noll. För exemplet ovan innebär det att man får lösa ekvationen:

Denna ekvation har lösningen:

dvs

Förutom att grafen skär x-axeln i (1, 0) och (3, 0) betyder detta också att linjen x = 2 är symmetriaxel till grafen. Detta betyder i sin tur att funktionens minimum (i andra fall maximum) lätt kan bestämmas genom att sätta in x = 2 i funktionsuttrycket. Så här:

När vi nu känner nollställena, vet vi också att ovanstående funktion (y = x 2 - 4x + 3) också kan skrivas:

Ännu ett sätt att skriva denna funktion är:

Av detta skrivsätt kan man se att funktionen har ett minimum i punkten (2, -1). (På motsvarande sätt har funktionen y = (x + 3) 2 + 2 ett minimum i punkten (-3, 2) och funktionen y = -(x + 2) 2 - 3 ett maximum i (-2, 3).)

När vi nu tittat på några andragradsfunktioner, förstår vi att om det inte finns några praktiska begränsningar i den speciella tillämpningen så är definitionsmängden alltid alla reella tal (hela x-axeln) medan värdemängden antingen är av typen > y min eller < y max .