ANDRAGRADS-
EKVATIONER

En andragradsekvation skiljer sig från en förstagradsekvation genom att den (efter förenkling) måste innehålla en x2-term (andragradsterm) och inga termer av högre gradtal. (Om den obekanta betecknas med y, så blir det förstås en y2-term i stället osv). En fullständig andragradsekvation innehåller (efter förenkling) alla tre sorternas termer: x2-term, x-term och konstant-term.

Vidare är det så att en förstagradsekvation har en lösning som består av högst en rot (värde på x som gör att det blir likhet mellan vänstra ledet och högra ledet), medan en andragradsekvation har en lösning som består av högst två rötter. Vissa ekvationer har ingen rot alls eller i varje fall ingen reell rot. Exempelvis har förstagradsekvationen x = x + 1 ingen rot (om man ökar något med ett kan det inte fortfarande vara lika mycket som före ökningen) och andragradsekvationen x2 + 1 = 0 har ingen reell rot (x2 kan inte vara ett negativt tal - om man då lägger till ett kan det inte bli noll).

En andragradsekvation kan ses som en kombination av två förstagradsekvationer, vars rötter blir andragradsekvationens två rötter.

Exempel:

Förstagradsekvationerna har som synes rötterna x = 12 resp x = -5. De två ekvationerna kan alltså skrivas så här också:

Eller mera likt ursprungsekvationerna:

Ekvationerna har alltså skrivits så att ena ledet är noll. Eftersom produkten av två tal är noll så snart den ena faktorn är noll, så måste en ekvation som består av produkten av de två vänsterleden ovan satt lika med noll ha samma rötter som de ursprungliga ekvationerna.

Så här:

Eller så här:

Och med lösningen

Ekvationen ovan är en andragradsekvation (skriven på två sätt) och att det är en andragradsekvation syns kanske tydligare om man skriver om vänsterledet genom att multiplicera ihop faktorerna - så här:

Ekvationen skrivs då så här med en x2-term, en x-term och en bekant term:

Den har förstås samma rötter som förut - det är ju samma ekvation bara skriven på ett tredje sätt. Pröva själv om rötterna satisfierar (löser, stämmer i) ekvationen. Eller lös ekvationen med hjälp av den bekanta formeln

(där p i detta fall är -7 och q är -60)

HUR MAN LÖSER ANDRAGRADSEKVATIONER

Lösningsmetoden blir olika för följande tre fall:

Andragradsekvationer utan x-term

Exempel:

Lösning:

Sätt x2-termen i vänster led (VL) och den konstanta termen i höger led (HL):

Dra kvadratroten ur båda leden (VL och HL):

Tillbaka till punktlistan

Andragradsekvationer utan konstant-term

Exempel:

Lösning:

Bryt ut x (eller ev. mer, om det går) ur VL i ekvationen (HL måste vara noll):

Sätt första faktorn i VL lika med noll. Det ger:

Sätt andra faktorn i VL lika med noll. Det ger:

Och svaret blir:

Tillbaka till punktlistan

Fullständiga andragradsekvationer

Exempel:

I detta fall måste Du använda formeln för lösning av fullständiga andragradsekvationer.

Skrivningen av ekvationen kan förtydligas så här:

- Koefficienten för x är alltså -1 och den konstanta termen är -2.

Lösning:

Eftersom koefficienten för x är -1, så är halva koefficienten för x med ombytt tecken 0,5. Kvadraten på samma tal är 0,25. Den konstanta termen med ombytt tecken blir 2. Den bekanta formeln ger då lösningen:

Och svaret blir:

Animerat exempel:

Tillbaka till punktlistan