DE FYRA RÄKNESÄTTEN
OCH
OLIKA TALMÄNGDER


ADDITION (PLUS) OCH NATURLIGA TAL

Man brukar tala om fyra räknesätt och det mest grundläggande av dem är addition (plus, +). Man säger också att man adderar, lägger ihop, summerar eller lägger samman. Man behöver för detta också tal som anger antal. Exempelvis antalet äpplen i en skål, antalet ben på ett djur, antalet tår på en fot, antalet ögon på handen (normalt 0) eller antalet hårstrån på huvudet. Sådana tal (som alltså anger antal) kallas naturliga tal. I bilden nedan symboliserar varje burk med kulor ett naturligt tal:


De naturliga talen är alltså oändligt många och kan räknas upp så här: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... och talen blir allt större (ökar med ett för varje steg) ju längre man räknar.

Räknesättet addition kan med hjälp av burkarna ovan beskrivas som att man tar innehållet från två eler flera burkar och häller samman i en burk. Denna burk visar resultatet, som kallas summan, och är också ett naturligt tal.

En viktig egenskap hos räknesättet addition är att det inte har någon betydelse i vilken ordning de ingående talen, termerna, tas med: 3 + 4 är lika mycket som 4 + 3. Man säger att den kommutativa lagen gäller vid addition.


SUBTRAKTION (MINUS) OCH HELA TAL

Efter räknesättet addition talar man om räknesättet subtraktion (minus, -). Man säger att man subtraherar ett tal med ett annat, drar (ifrån) ett tal från ett annat, minskar ett tal med ett annat eller beräknar differensen av (mellan) ett tal och ett annat. Om man subtraherar ett mindre tal med ett större (d.v.s. drar ett större tal från ett mindre), blir resultatet inte längre ett naturligt tal utan ett negativt heltal (ett minustal).

Exempel:

För att underlätta kan man ordna talen utmed en tallinje. Pilen åt höger visar åt vilket håll talen blir större.

De fem exemplen ovan kan på tallinjen tolkas så här:

  1. Leta upp 5 på tallinjen och gå 3 steg åt vänster - då hamnar man på 2.
  2. Leta upp 35 på tallinjen och gå 17 steg åt vänster - då hamnar man på 18.
  3. Leta upp 3 på tallinjen och gå 7 steg åt vänster - då hamnar man på -4.
  4. Leta upp -5 på tallinjen och gå 13 steg åt vänster - då hamnar man på -18.
  5. Leta upp -5 på tallinjen och gå 18 steg åt höger - då hamnar man på 13.
    (Observera att detta femte exempel ger samma resultat som 18 - 5 !)

De naturliga talen har härmed utökats med de negativa heltalen till mängden av hela tal (= talet noll samt de positiva och de negativa heltalen).

Även de hela talen är (liksom de naturliga talen) oändligt många och kan i princip räknas upp så här: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ... (Och detta trots att de hela talen på något sätt är ungefär dubbelt så många som de naturliga talen!)

Den kommutativa lagen gäller inte vid subtraktion (4 - 3 är inte lika med 3 - 4), såvida man inte betraktar subtraktionen som en addition med negativa tal - så här: 4 - 3 = (+4) + (-3) = (-3) + (+4) = (+1) = 1


MULTIPLIKATION (GÅNGER)

Det tredje räknesättet man talar om är multiplikation (gånger, ·, ×). Man säger att man multiplicerar (eller "gångrar") ett tal med ett annat eller beräknar produkten av ett tal och ett annat. Multiplikation kan ses som upprepad addition med samma tal. Om man exempelvis vill beräkna 3 · 4 kan det uppfattas som att man tar tre gånger fyra d.v.s. talet 4 taget tre gånger alltså 4 + 4 + 4 = 12. Det visar sig att det inte spelar någon roll i vilken ordning man tar de ingående talen (faktorerna): tar man nämligen i stället 4 · 3 och uppfattar det som fyra gånger tre d.v.s. talet 3 taget fyra gånger alltså 3 + 3 + 3 + 3 = 12. Produkten blir ändå densamma! Den kommutativa lagen gäller vid multiplikation liksom vid addition.


DIVISION (DELAT MED) OCH RATIONELLA TAL

Det fjärde räknesättet är division (delat med, /, :). Man säger också att man dividerar ett tal (täljaren eller dividenden) med ett annat (nämnaren eller divisorn), delar ett tal med ett annat, beräknar kvoten av två tal eller ser efter hur många gånger ett tal går i ett annat. Detta sista sätt att se på saken ger också idén till hur man kan räkna. Vill man t.ex. beräkna 6/2 så ser man efter hur många gånger man kan dra 2 från 6 innan 6 "tar slut" d.v.s blir noll: 6 - 2 - 2 - 2 = 0 d.v.s man kan göra det tre gånger och man kan skriva 6/2 = 3. Division kan alltså ses som upprepad subtraktion med samma tal. Detta innebär också att eftersom 3 · 2 = 6 så är 6/2 = 3.

Alla divisioner går dock inte "jämnt upp". Man säger då att täljaren inte är delbar med nämnaren. Ta t.ex. 11/3 och se hur många gånger man kan subtrahera 11 med 3. Man får 11 - 3 - 3 - 3 = 2 eller 11 - 3 - 3 - 3 - 3 = -1, men man får aldrig 0. Låt oss tänka oss att vi ska fördela 11 tårtor rättvist på tre personer:


Svaret på detta problem kunde uppenbarligen inte ges med ett heltal utan blev som är ett tal som i storlek ligger mellan tre och fyra och utläses tre och två tredjedelar. Bråket är ett rationellt tal liksom även det blandade talet vars värde är summan av heltalet 3 och bråket . Även de rationella talen är oändligt många, ja det är t.o.m. så att det på tallinjen finns oändligt många rationella tal mellan vart och ett av de hela talen.


Lägg märke till att division kan uppfattas som innehållsdivision eller delningsdivision. När man exempelvis ser efter hur många gånger 3 kan dras ifrån 11 (innan 11 "tar slut") är ju frågan hur många gånger 3 går i (= innehålls i) 11 och svaret blir , eftersom  · 3 = 11. Då handlar det alltså om innehållsdivision, men när vi delar upp de elva tårtorna i tre lika stora ransoner så handlar det om delningsdivision. Kvoten blir densamma () i båda fallen, men den bakomliggande tanken är en helt annan.

Man brukar utesluta möjligheten att nämnaren (divisorn) skulle kunna vara noll. Att vid delningsdivision tänka sig att dela upp något på noll lika stora ransoner är ju rent nonsens och vid innehållsdivision blir ju frågan hur många gånger något kan minskas med noll innan det tar slut, vilket ju uppenbarligen kan göras hur många gånger som helst. Även i detta fall kan alltså inget bestämt tal ges som svar.

Den kommutativa lagen gäller inte vid division (11/3 är inte lika med 3/11), såvida man inte betraktar divisionen som en multiplikation med inverterade tal - så här: 11 · (1/3) = (1/3) · 11. — Här är 1/3 det inverterade (="omvända") talet till 3 och (1/3) · 11 brukar utläsas en tredjedel av elva. Detta kan man förstå med hjälp av nedanstående bild:


SAMMANFATTNING AV DE FYRA RÄKNESÄTTENS TERMINOLOGI